Ao professor e ao aluno

Nesta oficina, você terá oportunidade de utilizar quadrados que podemos chamar de “minós”. Com eles, utilizando alguns pré-requisitos dados, podemos formar superfícies planas (bidimensionais) de diversas formas e tamanhos. Podemos formar também superfícies espaciais (tridimensionais).
Sugerimos algumas atividades que exploram conceitos matemáticos, tais como perímetro, área e volume, entre outros. O divertido quebra-cabeças de “pentaminós” pode sugerir muitas explorações em sala de aula, caso você seja professor.
Tomara que você aproveite. Use, abuse e nos dê notícias de como essas idéias foram exploradas em sala de aula. Quem sabe podemos criar um fórum para discutir essas e outras aplicações interessantes da Matemática na escola?

O que são poliminós?

São quadrados ligados pelos lados. Assim é possível formar:
• o tradicional dominó, com dois quadrados;
• o triminó, com três quadrados;
• o tetraminó, com quatro quadrados;
• o pentaminó, com cinco quadrados;
• o hexaminó, com seis quadrados etc.

Aspectos a serem considerados na formação das famílias

Para montar as peças da família dos poliminós, use quadrados de cartolina. Não são válidas configurações
• que apresentam formas iguais em posições diferentes;
• em que os lados não se ajustam inteiramente;
• em que as ligações se fazem por meio dos vértices dos quadrados.

Algumas atividades com poliminós

Encontre todas as configurações possíveis para os tetraminós.
a) Registre-as no papel quadriculado.
b) Será possível classificá-las usando algum critério? Experimente. Converse com seu grupo sobre o assunto.
c) Todos os tetraminós são convexos? Separe-os em dois grupos, obedecendo a este critério de classificação.

Vamos agora observar os pentaminós
a) Construa todas as peças possíveis e depois registre-as no papel quadriculado.
b) Considerando um quadradinho como unidade de área, qual será a área de cada uma das peças construídas?
c) Considerando o lado de um quadradinho do pentaminó como unidade de medida de comprimento, qual será o perímetro de cada uma das peças construídas?
d) Observadas as peças desenhadas no papel quadriculado, determine aquelas com as quais podemos construir caixas de forma cúbica, porém sem tampa. Marque com um x o quadrado que será o fundo da caixa.
e) Podemos construir um retângulo com as doze peças do pentaminó não deixando espaço entre elas (ver quebra-cabeças).

• Considerando um quadradinho como unidade de área, qual será a área do retângulo construído?
• Considerando o lado de um quadradinho do pentaminó como unidade de medida de comprimento, quais as dimensões possíveis para esse retângulo?

Trabalhando com hexaminós

a) Determine, pelo menos, cinco hexaminós que possibilitam a construção de hexaedros (cubos).

• Procure visualizar inicialmente a sua construção.
• Transfira-os para o papel quadriculado.

b) Escolha um hexaminó. Amplie-o usando uma escala de 2:1. Agora recorte os dois e monte-os usando durex.

c) Observe o hexaminó original selecionado. Amplie-o usando agora uma escala de 3:1. Se quero usar cola na montagem do cubo correspondente a ele, onde estariam as “aletas”? Coloque-as. Recorte e monte o cubo.

d) Compare as dimensões dos cubos do item b.

• Que relação existe entre os tamanhos das arestas?
• Que relação existe entre as áreas das faces dos dois cubos?
• Quantos cubos pequenos são necessários para formar o cubo maior?
• Qual a relação entre os volumes dos dois cubos?
• Verifique as relações de mesma natureza, ao compararmos o cubinho com o cubo do item c.

Construindo um dado

Considere a planificação do cubo (uma das formas do hexaminó) abaixo.

Observação: esta planificação deve ser dada ao aluno em folha anexa e em tamanho maior.
Vamos agora construir um dado. Para tanto, usando uma caneta pilot, acompanhe as seguintes instruções:

1º - Escolha uma das faces da planificação e pinte um círculo no seu centro. Assim:

2º - Na face oposta a esta, pinte seis círculos, como na figura abaixo. Atenção! O cubo continua planificado!

3º - Das quatro faces que sobraram, escolha uma e pinte dois círculos, como na figura abaixo.

4º - Agora pinte, na face oposta a esta, cinco círculos, como na figura abaixo.

5º - Das duas faces que sobraram, escolha uma e pinte nela três círculos, como na figura.

6º - Por fim, na face que restou, e que deve ser oposta à anterior, pinte quatro círculos, como na figura.

Montando o Dado

Recorte o cubo planificado e monte-o, transformando-o em uma figura tridimensional.
Repare se a face em que você pintou 1 círculo é oposta à face em que você pintou 6; se a face em que você pintou 2 é oposta à face em que você pintou 5 e se a face em que você pintou 3 círculos é oposta à face em que você pintou 4.

Analisando o dado construído a partir do cubo

a) Qual foi o total de círculos que você pintou em cada face? Enumere este total, por face.
b) Quantas faces possui o cubo?
c) Quantos pares de faces opostas foram preenchidos?
d) Qual o total de círculos de cada par de faces opostas?
e) Qual deve ser a razão deste total? Você acha que poderia ser de outro modo? Justifique.
f) Quais os grupos de 2 faces vizinhas entre si?
g) Quais os grupos de 3 faces vizinhas entre si?

Quando as faces se encontram, formam uma “quina” que em geometria chamamos de aresta. E, quando duas ou mais arestas se encontram, formam um vértice.
Quantas arestas e quantos vértices tem o cubo?

Representando o dado construído em malhas planas

Coloque o cubo sobre a mesa de forma que fiquem visíveis três faces. Agora desenhe o que você está vendo, usando como apoio a rede pontilhada quadriculada e a rede pontilhada triangular.

Agrupe por todo o grupo os cubos construídos, criando um único sólido.
Cada um deverá agora desenhar, nas redes pontilhadas, o que está vendo, do seu ponto de vista.

Agora é sua vez...

Que tal? Gostou da oficina?
Como na Matemática “uma coisa sempre puxa outra”, você provavelmente teve idéias interessantes, lembrou de outras explorações, já utilizou em sala de aula algo parecido, ou ficou com algumas dúvidas dentro do contexto apresentado.
Vamos conversar sobre as questões que, provavelmente, a oficina despertou em você.
Mande suas idéias, opiniões e dúvidas por e-mail. Com certeza, trocaremos boas informações.